Question:
Circuit de premier ordre qui ressemble à un circuit de second ordre
1729_SR
2020-04-11 00:14:29 UTC
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L'image jointe est un circuit de premier ordre car les deux branches du circuit sont découplées, mais j'ai du mal à le montrer mathématiquement.À partir du diagramme, nous pouvons immédiatement écrire deux équations de KVL (chaque boucle contenant la source indépendante) qui sont des ODE du premier ordre dans les deux condensateurs différents.Mais je ne peux pas penser à une relation entre les deux condensateurs.

Si quelqu'un peut expliquer explicitement pourquoi ce circuit doit être de premier ordre, je l'apprécierais vraiment. enter image description here

Et si Vs varie dans le temps?
Je suppose que ça pourrait l'être, mais est-ce important?L'ordre du circuit ne dépend pas des sources indépendantes.
Avez-vous combiné des équations de bot pour essayer de le résoudre?Vous devriez vous retrouver avec un second dérivé quelque part.Je n'ai pas de crayon avec moi.Je pense.Ça fait longtemps.
D'après mes notes de cours, il s'agit d'un circuit de premier ordre et donc aucun dérivé secondaire ne devrait apparaître.C'est essentiellement le nœud de ma question - pourquoi en est-il ainsi?Parce que, comme vous, mon premier instinct aurait été de dire que c'est du second ordre.
Neuf réponses:
#1
+7
WhatRoughBeast
2020-04-11 01:22:47 UTC
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Vous avez défini le circuit, mais pas la sortie. Regardez-vous, par exemple, la tension aux bornes du capuchon 1 F? Supposons que oui. Puisque votre source de tension a une impédance nulle, la tension aux bornes de l'un ou l'autre des condensateurs (et vous devez choisir un point) sera indépendante de l'existence (ou de l'absence de même) de l'autre paire RC.

La réponse à l'un ou l'autre des condensateurs sera donc une réponse de premier ordre. Pour le calculer, vous pouvez supprimer l'autre RC, sans effet sur vos résultats.

EDIT - OP m'a demandé d'étoffer cette réponse, alors laissez-moi essayer.

Supposons (juste pour le plaisir) que Vs a une valeur de 1 volt. Par convention, les sources de tension sont des sources idéales . Autrement dit, une source de 1 volt mettra 1 volt quel que soit le courant requis.

Maintenant, connectez le réseau RC 4 ohms / .5 F. Quelle est la sortie de Vs? 1 volt.

Connectez maintenant le réseau 4 ohms / 1 F. Quelle est la sortie de Vs? 1 volt.

Ainsi, la tension produite à l'un ou l'autre des condensateurs sera indépendante de la valeur (ou même de l'existence) de l'autre condensateur.

Maintenant, à propos de "impédance nulle". Vs est affiché comme une source de tension, capable de fournir n'importe quel courant arbitraire. Si vous connectez les deux sorties avec une résistance de 0 ohm, vous obtiendrez un courant infini. Et si, au lieu d'une source idéale, elle se composait "vraiment" d'une source idéale de 1 volt en série avec une résistance de 1 ohm? C'est ce que signifie une impédance de sortie de 1 ohm. Ensuite, un court-circuit de la sortie entraînera 1 ampère, ce qui est beaucoup plus conforme aux sources de tension réelles telles que les batteries.

Considérez maintenant ce qui se passe lorsque nous faisons l'expérience de connexion que j'ai mentionnée plus tôt. Par souci d'illustration, débarrassez-vous des condensateurs.

Si vous connectez une seule résistance de 4 ohms sur la sortie, la source de tension sera de 1 ohm en série avec 4 ohms, pour un total de 5 ohms, et un courant de sortie de 0,2 ampères. La loi d'Ohm vous dira que la tension aux bornes de la résistance de 4 ohms sera de 0,8 volts.

Ajoutez maintenant une seconde résistance de 4 ohms sur la sortie.En fait, cela produira une charge de 2 ohms.La source de tension verra 1 ohms plus 2 ohms, et produira 0,333 ampères de courant, et la tension aux bornes de la charge sera de 0,667 volts - et non de 0,8.

Ainsi, l'impédance de sortie d'une alimentation affectera la tension fournie à une charge - mais si l'impédance de sortie est nulle, la tension à la charge sera indépendante de la valeur de la charge.

J'espère que cela vous aidera.

Pouvez-vous étoffer un peu plus cela."Puisque la source de tension a une impédance nulle" ... pourquoi cela a-t-il une incidence sur la question?J'espère que vous pourrez m'expliquer explicitement à travers les étapes qui vous ont conduit à la conclusion que ces deux branches sont découplées.
@1729_SR Si la source de tension a une impédance nulle, alors les deux condensateurs voient juste Vs.Ils pourraient également être connectés à deux blocs d'alimentation différents qui avaient la même tension.Puisque vous vous attendez à ce qu'ils interagissent, peut-être avez-vous dessiné le circuit différemment de ce que vous vouliez?
@1729_SR - J'ai modifié la réponse pour répondre à votre question.J'espère que cela aide.
#2
+5
Adam Haun
2020-04-11 02:39:20 UTC
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Il n'y a aucune relation entre les condensateurs de votre circuit. Les deux branches sont en parallèle avec une source de tension. Leur comportement est indépendant. Voici les équations KCL:

$$ \ frac {V_S - V_ {C1}} {4 \ Omega} = 0.5 \ mathrm {F} \ cdot \ frac {dV_ {C1}} {dt} $$ $$ \ frac {V_S - V_ {C2}} {4 \ Omega} = 1 \ mathrm {F} \ cdot \ frac {dV_ {C2}} {dt} $$

Notez que ce sont des équations découplées - nous pouvons les résoudre séparément. Maintenant, regardez ce circuit:

schematic

simuler ce circuit - Schéma créé à l'aide de CircuitLab

Voici les équations KCL:

$$ \ frac {V_ {S} - V_ {C1}} {R_1} = C_1 \ frac {dV_ {C1}} {dt} + \ frac {V_ { C1} - V_ {C2}} {R_2} $$ $$ \ frac {V_ {C1} - V_ {C2}} {R_2} = C_2 \ frac {dV_ {C2}} {dt} $$

Ces équations partagent le terme \ $ ({V_ {C1} - V_ {C2}}) / {R_2} \ $ , ce qui signifie que nous ne pouvons pas résolvez-les séparément. Pour résoudre ce système, vous devez commencer par résoudre pour \ $ V_ {C1} \ $ dans la deuxième équation:

$$ V_ {C1} = V_ {C2} + R_2C_2 \ frac {dV_ {C2}} {dt} $$

et en le branchant dans \ $ V_ {C1} \ $ dans la première équation. Mais la première équation contient \ $ {dV_ {C1}} / {dt} \ $ ! Lorsque nous intégrons notre formule pour \ $ V_ {C1} \ $ , nous devons également utiliser son dérivé, ce qui nous donne la seconde dérivé de \ $ V_ {C2} \ $ :

$$ \ frac {dV_ {C1}} {dt} = \ frac {dV_ {C2}} {dt} + R_2C_2 \ frac {d ^ 2V_ {C2}} {dt ^ 2} $$

C'est pourquoi il s'agit d'un circuit de second ordre, alors que votre circuit (dont les équations sont découplées) ne l'est pas.

#3
+2
user287001
2020-04-11 01:02:22 UTC
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L'ordre du circuit? Ce concept doit être accepté avant que le cas puisse être résolu.

Une définition: c'est un circuit de premier ordre si vous pouvez obtenir tous les courants et tensions avec toutes les conditions initiales en résolvant uniquement les équations différentielles scalaires du 1er ordre. La limitation "scalaire" est due au fait que l'on peut construire formellement une équation vectorielle de variable d'état d'un circuit LC complexe avec des matrices et la dérivée du 1er ordre du vecteur de variable d'état.

Dans votre circuit, les tensions de condensateur V1 et V2 obéissent aux équations dV1 / dt = (Vs-V1) / (R1C1) et dV2 / dt = (Vs-V2) / (R2C2). Ces deux problèmes peuvent être résolus séparément si Vs et la valeur initiale de la tension du condensateur sont connus. Les courants peuvent être calculés à partir des tensions et des résistances.

En fait, les équations différentielles de V1 et V2 ensemble sont une équation vectorielle de variable d'état, mais la résoudre comme des équations de variable d'état est possible sans générer une équation d'ordre supérieur.

S'il arrive que Vs ne soit pas raide, mais baisse plus ou moins à cause du courant, les indépendances des branches disparaissent et le circuit est de 2ème ordre.

Qu'entendez-vous par "[si] Vs n'est pas raide"?Voulez-vous dire que Vs est une vraie source avec une certaine résistance interne?S'il s'agit simplement de la résistance interne de l'alimentation, cela ne changera pas l'ordre de l'ODE à résoudre.
Pouvez-vous développer davantage sur ce sujet?Je vois comment j'ai deux ODE scalaires de premier ordre séparés, mais je ne vois pas comment ils peuvent être résolus sans 2 conditions initiales.Comment une condition initiale peut-elle suffire pour résoudre ce circuit?
Le nombre de conditions initiales étant de deux ne signifie pas qu'un système sera un système du second ordre, puisque la dérivée d'ordre le plus élevé sera toujours un.
@1729_SR Je n'ai rien affirmé sur le nombre de conditions initiales.2 est nécessaire comme dans un circuit où il y a 2 condensateurs en série.J'ai seulement affirmé qu'il n'y avait pas de diff.eq de second ordre lorsqu'une variable d'état est résolue à la fois.
Donc, pour être clair, c'est un système de premier ordre qui nécessite deux conditions initiales?
Juste ça - tant que personne ne commence à dire par ex.«Dans notre pays, il y a une loi qui déclare qu'un circuit qui a besoin de 2 conditions initiales est un système de 2ème ordre».Pensez à un circuit qui contient en série une source de tension continue idéale, une résistance et 2 condensateurs.Il a également besoin de conditions initiales pour 2 condensateurs mais il n'a besoin que d'une seule équation différentielle qui est de 1er ordre.
Mais ce circuit a besoin de deux équations différentielles de premier ordre?Je pense que je t'ai compris, merci!
@jDAQ La résistance interne est une possibilité qui fait dépendre la tension de sortie de la source du courant.Stiff est tiré du vocabulaire Powerline.Je veux dire que la tension de sortie de la source ne dépend pas du courant.
#4
+1
John Doty
2020-04-11 18:35:43 UTC
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À mon avis, il s'agit d'un circuit de second ordre.C'est juste un cas particulier où le coefficient de la deuxième dérivée dans l'ODE combiné se trouve être nul, car les variables d'état ne s'influencent pas mutuellement.Vous pouvez voir cela si (comme suggéré ci-dessus) vous introduisez un couplage via une résistance en série avec votre source, puis regardez ce qui se passe lorsque cette résistance s'approche de zéro.

#5
+1
LvW
2020-04-11 19:09:45 UTC
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Question: Si nous voulons caractériser un CIRCUIT, est-il correct de demander l'ORDRE d'un circuit? Un circuit peut-il avoir une commande?

Pour moi, il est plus approprié d'analyser une fonction de transfert spécifique dérivée du circuit.

Par exemple - demander le courant à travers chaque branche ou demander la tension à travers l'un des condensateurs, nous avons, bien sûr, une équation 1 d'ordre 1 (passe-bas).

En revanche, parce que la conductance totale (ou l'impédanze totale Z1 || Z2) est de second ordre (voir la réponse d'un "citoyen concerné") l'expression du courant total traversant le circuit sera un 2nd -ordre expression.

EDIT: example clair et descriptif:

Dans certains cas réels, nous avons une source de tension de signal, qui pilote à la fois un passe-bas et un passe-haut. Disons chacun de second ordre.

Diriez-vous que nous avons un seul circuit de 4ème ordre? Non bien sûr que non. Encore une fois - un CIRCUIT ne peut pas avoir d'ordre spécifique - c'est une fonction dérivée de ce circuit qui est décrite par l'ordre de cette fonction (résistance d'entrée, fonction de transfert, ..)

Bien sûr, la situation est complètement différente, lorsque la source de signal a une résistance de source interne. Dans ce cas, les deux filtres ne sont pas isolés l'un de l'autre car le courant dans un circuit détermine la chute de tension à travers la résistance de la source et, par conséquent, influence la tension d'entrée de l'autre circuit.

Fazit: Ce n'est pas le circuit, mais une variable ou une fonction spécifique qui doit être analysée en demandant la commande.

Nous pouvons trouver les courants pour chaque branche en résolvant l'équation du 1er ordre.Alors, comment le courant total peut-il être de second ordre?Le courant total en est la somme.
Lorsque vous ajoutez les deux expressions pour les courants et appliquez des règles mathématiques pour obtenir une seule expression, le dénominateur commun est de second ordre.
#6
+1
Arihant
2020-04-11 23:09:34 UTC
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C'est un système de second ordre.Vous pouvez regarder la fonction d'impédance, Z (s) = V (s) / I (s) qui est s ^ 2.En outre, l'ordre du système est égal aux «éléments de stockage d'énergie indépendants» dans ce système.En effet, chaque élément de stockage d'énergie indépendant est associé à une variable d'état.Dans le ckt ci-dessus, il y a deux condensateurs qui ne peuvent pas être remplacés par un seul condensateur équivalent, donc l'ordre est 2.

#7
  0
a concerned citizen
2020-04-11 18:08:23 UTC
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Vous semblez très sûr de vous qu'il s'agit d'un circuit de premier ordre.Voyons voir, peut-être que présumer n'est pas une si bonne idée:

$$ \ begin {align} Z_1 & = R_1 + \ frac {1} {sC_1} = \ frac {sC_1R_1 + 1} {sC_1} \\ Z_2 & = R_2 + \ frac {1} {sC_2} = \ frac {sC_2R_2 + 1} {sC_2} \\ Z_1 || Z_2 & = \ frac {1} {\ frac {1} {Z_1} + \ frac {1} {Z_2}} = \ frac {C_1C_2R_1R_2s ^ 2 + (C_1R_1 + C_2R_2) s + 1} {C_1C_2 (R_1 + R_2) s ^ 2 + (C_1 + C_2) s} \ end {align} $$

Le seul moment où cela devient un premier ordre, c'est lorsque les deux résistances et les deux condensateurs sont égaux.En général, l'ordre du circuit est donné par le nombre d'éléments réactifs: deux condensateurs, 2ème ordre.

#8
  0
Frenchy
2020-04-12 02:42:47 UTC
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C'est une équation du premier ordre.Il peut être plus simple d'expliquer si une transformée de Fourier ou de Laplace est appliquée.Une fois que cela est fait, la combinaison des deux en parallèle fait clairement apparaître qu'il s'agit d'un circuit de premier ordre.L'image ci-jointe montre le calcul. enter image description here

#9
  0
akash nagaria
2020-04-12 14:35:06 UTC
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L'ordre du circuit dépend du non.d'éléments de stockage "efficaces". Par le terme efficace, nous entendons les éléments (inductance ou condensateur) qui ne peuvent pas être séparés davantage.

Comme dans le circuit donné, il y a 2 condensateurs ... mais nous pouvons toujours résoudre les deux branches RC parallèles qui donneront une seule branche RC équivalente ..

Donc, fondamentalement, ckt consistera en 1) source Vs en série avec une résistance équivalente Req et un condensateur équivalent Ceq

Par conséquent, dans l'ensemble, l'élément de stockage "efficace" est 1. et donc l'ordre est 1.

J'appellerais cela l'ordre de la fonction de transfert de l'entrée de tension à la sortie de tension.Le circuit dans son ensemble a un ordre de 2.


Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 4.0 sous laquelle il est distribué.
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