L'analyse de phaseur nous permet d'analyser la réponse d'un circuit à une réponse sinusoïdale en régime permanent à une fréquence unique donnée. Nous représentons une tension temporelle \ $ V (t) = V_ {0} cos (\ omega t + \ phi) \ $ sous forme de phaseur en la transformant en exponentielle complexe via la formule d'Euler ...

$$ A \ cos (\ omega t + \ phi) = Re \ {Ae ^ {j (\ omega t ~ + ~ \ phi)} \} = Re \ {Ae ^ {j \ phi} e ^ { j \ omega t} \} $$

... puis en ignorant la dépendance fréquence / temps (puisque nous supposons que tout dans le circuit est excité par une sinusoïde constante de la même fréquence). Ainsi,

$$ V = Ae ^ {j \ phi} $$

Ce \ $ V \ $ est ce que nous appelons un phaseur. Nous pouvons représenter n'importe quel courant ou tension comme un phaseur. Afin de récupérer une représentation du domaine temporel à partir d'un phaseur, vous pouvez la multiplier par \ $ e ^ {j \ omega t} \ $ puis prendre la partie réelle. Notez que parfois, par souci de brièveté / familiarité dans le calcul de la puissance, nous convertissons également l'amplitude du phaseur en valeurs RMS (divisez la magnitude par \ $ \ sqrt {2} \ $ pour une sinusoïde). Les phaseurs nous permettent d'utiliser des techniques d'analyse CC analogues pour récupérer les fonctions de transfert de circuits linéaires (en utilisant des impédances). En utilisant la superposition, nous pouvons utiliser l'analyse de Fourier pour analyser la réponse en régime permanent complet d'un circuit comme une somme de sa réponse en régime permanent due à différentes composantes de fréquence.

Il est utile de noter la relation des phaseurs à la représentation de Laplace d'un circuit. La représentation Laplace d'un circuit utilise la variable \ $ s = \ sigma + j \ omega \ $. Notez que pour \ $ \ sigma = 0 \ $, la fonction de transfert de la représentation de Laplace d'un circuit se réduit à la représentation du phaseur. C'est une bonne indication que la partie réelle de \ $ s \ $ représente une réponse transitoire (et cela peut être facilement observé en notant que \ $ e ^ {at} \ $ pour tout \ $ a \ $ réel se traduira par un valeur réelle qui croît ou décroît de façon exponentielle). Notez que la représentation de Laplace est une représentation plus générale d'un circuit qui comprend à la fois des réponses transitoires et stables. De même, il est bon de noter que la transformée de Fourier est juste un cas particulier de la transformée de Laplace plus générale (le cas où \ $ \ sigma = 0 \ $ in \ $ s = j \ omega \ $).

Mathématiquement, rien ne se perd. L'analyse de phase vous donne la valeur de chaque tension et courant dans le circuit pour tous les temps, sous la forme de fonctions cosinus:

$$ V_a = A_1 \ cos (\ omega t + \ phi_1) $$$ $ V_b = A_2 \ cos (\ omega t + \ phi_2) $$$$ I_c = A_3 \ cos (\ omega t + \ phi_3) $$$$ etc. $$

Vous spécifiez \ $ \ omega \ $ et l'amplitude et la phase pour au moins une tension ou un courant, et l'analyse du phaseur vous donne \ $ A \ $ et \ $ \ phi \ $ pour tout le reste.

Le problème n'est pas ' t que le comportement transitoire se perd, c'est que vous ne le mettez jamais! Par définition , l'analyse de phaseur fonctionne sur des sinusoïdes éternelles immuables à une fréquence unique appliquée à un système linéaire invariant dans le temps - le soi-disant état stationnaire sinusoïdal. «État permanent» est l'opposé de «transitoire». Vous pouvez l'étendre pour couvrir la croissance et la décomposition exponentielles, mais encore une fois, il s'agit d'une croissance et d'une décomposition éternelles . Le calcul ne fonctionne que parce que vos tensions et courants sont des exponentielles complexes, qui ne sont pas déformées par des équations différentielles linéaires.

Pour décrire une situation où vous basculez un interrupteur à t = 0, vous devez utiliser une étape fonction. Les fonctions pas à pas ne peuvent pas être représentées par une seule fréquence, donc l'analyse du phaseur est interrompue. Pour gérer cela, vous devez utiliser l'analyse de Fourier.

Je sais que c'est une réponse tardive, mais je veux donner un aperçu différent de la raison pour laquelle les phaseurs ne donnent que la réponse en régime permanent.

Considérons le circuit RC bien connu, avec une source de pilotage \ $ v_s = \ text {V} \ cos (\ omega t + \ phi) \ $, alors vous avez l'équation différentielle:

$$ \ text {RC} \ dfrac {dv_c} {dt} + v_c = \ cos (\ omega t + \ phi) $$

D'un point de vue mathématique, vous pouvez résoudre cette équation différentielle par n trouvant la solution homogène et une solution particulière et lorsque vous les additionnez, vous obtenez la solution general. Jusqu'ici tout va bien.

Les phaseurs ne vous donnent qu'une solution particulière (cela ne vous donne pas la solution homogène, qui est la solution transitoire) et la solution particulière est ce que nous appelons la réponse en régime permanent.

En d'autres termes, la solution homogeneous (réponse transitoire ou naturelle) est la solution pour

$$ \ dfrac {dv_c} {dt} + \ dfrac {1} {\ text {RC}} v_c = 0 $$

que vous pouvez trouver par la méthode des facteurs d'intégration.

Et la solution particular, en utilisant le fait que vous pouvez écrire la source d'entrée comme \ $ \ Re \ {\ text {V} e ^ {j \ omega t} e ^ {j \ phi} \} \ $, où \ $ \ Re \ $ signifie la partie réelle de. Pour la solution particulière, nous faisons une 'estimation', basée sur la fonction de forçage:

$$ \ dfrac {dv_c} {dt} + \ dfrac {1} {\ text {RC}} v_c = \ dfrac {\ text {V}} {\ text {RC}} e ^ {j \ phi } e ^ {j \ omega t} $$

Si vous pensez que votre solution particulière a la forme \ $ v_ {c, p} = \ text {A} e ^ {j \ omega t} \ $, où \ $ A \ $ sera également un phaseur ( il aura une magnitude et une phase à la fin), tout comme \ $ \ text {V} e ^ {j \ phi} \ $ est, par la définition d'un phaseur. $$ j \ omega \ text {A} e ^ {j \ omega t} + \ dfrac {1} {\ text {RC}} \ text {A} e ^ {j \ omega t} = \ dfrac {\ text {V}} {\ text {RC}} e ^ {j \ phi} e ^ {j \ omega t} $$ que vous pouvez simplifier en divisant par \ $ e ^ {j \ omega t} \ $ et en factorisant les termes \ $ \ text {A} \ $

$$ \ text {A} \ bigg (j \ omega + \ dfrac {1} {\ text {RC}} \ bigg) = \ dfrac {\ text {V}} {\ text {RC}} e ^ {j \ phi} $$

$$ \ text {A} = \ dfrac {\ text {V} e ^ {j \ phi}} {j \ omega \ text {RC} +1} $$

Et à la fin, \ $ \ text {A} \ $, sera un phaseur de la forme:

$$ \ text {A} = | \ text {A} | \ angle {\ theta} $$

Ainsi, lorsque vous trouvez \ $ v_ {c, p} \ $, vous n'avez que la solution particulière (réponse forcée, état stable).Vous auriez encore besoin de trouver la solution à l'équation homogène susmentionnée pour avoir une réponse complète.

En bref, les phaseurs vous donnent une solution particulière à l'équation différentielle.

Comme Adam et Auston l'ont déjà souligné, les informations transitoires ne sont jamais incluses dans l'analyse de phaseur, du moins pas en 2D. L'installer nécessiterait une dimension supplémentaire, comme cette enveloppe de phaseur 3D d'une onde sinusoïdale modulée en amplitude.

Un transitoire, comme la décroissance d'une oscillation amortie, ressemblerait à un vecteur rotatif en forme de cône décroissant de façon exponentielle. Les nombres complexes ne conviendraient plus non plus.

Bien que je pense que la réponse @ Big6 est bonne, j'aimerais répondre à l'OP du point de vue de la transformation de Laplace, par souci d'exhaustivité.

Donc, supposons que vous ayez un système SISO linéaire qui a une fonction de transfert générique \ $ H (s) \ $ qui satisfait:

1. Est d'ordre \ $ N \ $ , donc il a \ $ N \ $ pôles.
2. Est stable, donc tous ses pôles ont une partie réelle négative (ils se trouvent sur le côté gauche du plan complexe).
3. Le système n'a pas de conditions initiales (ce n'est pas obligatoire mais raccourcira l'explication).

De plus, supposons que vous alimentiez l'entrée du système avec une fonction sinusoïdale générique \ $ e (t) = A \ cdot \ cos (\ omega \; t + \ phi) \ $ .

Notre premier objectif sera de trouver la réponse temporelle du système en utilisant la technique de Laplace Transform. Pour ce faire, nous utilisons la relation,

\ begin {équation} R (s) = H (s) \ cdot E (s) \ tag {1} \ end {équation}

où \ $ E (s) \ $ et \ $ R (s) \ $ sont les transformées de Laplace des signaux d'entrée et de sortie, respectivement, et \ $ H (s) \ $ est la fonction de transfert.

Nous commençons à utiliser les relations trigonométriques de base pour trouver la transformée de Laplace de l'équation \ $ (1) \ $ :

$$ A \ cdot \ cos (\ omega \; t + \ phi) = A \ cdot [\ cos (\ omega \; t) \ cdot \ cos (\ phi) - \ sin (\ omega \; t) \ cdot \ sin (\ phi)] $$ alors $$ E (s) = \ mathcal {L} \ left \ lbrace e (t) \ right \ rbrace = \ mathcal {L} \ left \ lbrace A \ cdot \ cos (\ omega \; t + \ phi) \ right \ rbrace = A \ cdot \ left [\ frac {s \ cdot \ cos (\ phi)} {s ^ 2 + \ omega ^ 2} - \ frac {\ omega \ cdot \ sin (\ phi)} {s ^ 2 + \ omega ^ 2} \ right] \ tag {2} $$

Combinant les équations \ $ (1) \ $ et \ $ (2) \ $ nous avons :

$$ R (s) = H (s) \ cdot A \ cdot \ left [\ frac {s \ cdot \ cos (\ phi) - \ omega \ cdot \ sin (\ phi)} {s ^ 2 + \ omega ^ 2 } \ right] \ tag {3} $$

Nous ne savons pas grand-chose de \ $ H (s) \ $ mais, comme il a \ $ N \ $ pôles, nous pouvons les écrire explicitement. En outre, nous écrivons explicitement les deux pôles de \ $ E (s) \ $ . après cela, nous écrivons le développement en fraction partielle de R (s):

$$ \ begin {align} R (s) & = \ frac {N (s)} {(s-p_1) \ cdots (s-p_n)} \ cdot A \ cdot \ left [\ frac {s \ cdot \ cos (\ phi) - \ omega \ cdot \ sin (\ phi)} {(sj \ omega) \ cdot (s + j \ omega)} \ right] \\ & = \ color {blue} {\ frac {k_1} {(s-p_1)} + \ cdots + \ frac {k_n} {(s-p_n)}} + \ color {red} {\ frac {k} { (sj \ omega)} + \ frac {k ^ *} {(s + j \ omega)}} \ end {align} \ tag {4} $$

où \ $ k_1 \ cdots k_n \ $ sont les résidus associés aux pôles \ $ p_1 \ cdots p_n \ $ et \ $ k, k ^ * \ $ sont les résidus (conjugués) associés aux pôles conjugués du signal d'entrée.

Maintenant la partie clé: Notez que les termes blue correspondent à la réponse libre ou naturelle du système (due aux pôles du système) et les termes red correspondent à la réponse forcée (due aux pôles introduits par l'entrée externe). Notez également que parce que le circuit est supposé être stable, la réponse naturelle diminuera à zéro après un certain temps, et seule la réponse forcée (rouge) restera, qui sera la réponse en régime permanent de l'ensemble du circuit à cette entrée.

Donc, si nous ne sommes PAS INTÉRESSÉS à calculer le transitoire, nous pouvons éviter les termes bleus et calculer uniquement la réponse en régime permanent (rouge), que nous noterons \ $ R_ {ss} (s) \ $ :

$$ \ color {red} {R_ {ss} (s) = \ frac {k} {(s-j \ omega)} + \ frac {k ^ *} {(s + j \ omega)}} \ tag {5} $$

Nous calculons maintenant le résidu \ $ k \ $ en utilisant la méthode Heaviside Cover-Up sur l'équation \ $ (3) \ $ :

$$ \ begin {align} k & = (sj \ omega) \ cdot H (s) \ cdot A \ cdot \ left [\ frac {s \ cdot \ cos (\ phi) - \ omega \ cdot \ sin (\ phi)} {(sj \ omega) \ cdot (s + j \ omega)} \ right] \ Biggr \ vert_ {s = j \ omega} \\ & = H (j \ omega) \ cdot A \ cdot \ left [\ frac {j \ omega \ cdot \ cos (\ phi) - \ omega \ sin (\ phi)} {2j \ omega} \ right] \\ & = H (j \ omega) \ cdot \ frac {A} {2} \ cdot \ left (\ cos (\ phi) + j \ sin (\ phi) \ right) \ end {align} $$

ou, sous forme polaire:

$$ k = \ bigl | H (j \ omega) \ bigr | \ cdot \ frac {A} {2} \ cdot e ^ {j (\ angle mesuré {H (j \ omega)} + \ phi)} \ tag {6} $$

Si nous substituons ce résidu dans l'équation \ $ (5) \ $ (le conjugué est simple), trouvez le Laplace inverse des deux fractions et utilisez la formule d'Euler pour éliminer les exponentielles complexes on obtient:

$$ r_ {ss} (t) = A \ cdot \ bigl | H (j \ omega) \ bigr | \ cdot \ cos \ bigl (\ omega \; t + \ phi + \ measureangle {H (j \ omega)} \ bigr) \ tag {7} $$

Gardez à l'esprit que \ $ (7) \ $ est la réponse en régime permanent au signal d'entrée \ $ e (t) = A \ cdot \ cos (\ omega \; t + \ phi) \ $ . So, que doit faire ce résultat avec l'analyse de phaseur? La réponse est que si nous exprimons l'entrée et la sortie sous forme de phaseur, nous avons: $$ \ begin {align} \ overline {\ mathbf {E}} & = A \ cdot e ^ {j \ phi} \\ \ overline {\ mathbf {R}} _ {ss} & = A \ cdot \ bigl | H (j \ omega) \ bigr | e ^ {j (\ angle mesuré {H (j \ omega)} + \ phi)} = \ bigl | H (j \ omega) \ bigr | e ^ {j \ angle mesuré {H (j \ omega)}} \ cdot A \ cdot e ^ {j \ phi} \ end {align} $$ donc

$$ \ overline {\ mathbf {R}} _ {ss} = H (j \ omega) \ cdot \ overline {\ mathbf {E}} \ tag {8} $$

L'équation \ $ (8) \ $ est la même que celle obtenue par analyse de phaseur, ce qui explique pourquoi vous n'obtenez pas la réponse transitoire avec elle: parce que letoute la procédure d'analyse de phaseur est conçue pour ignorer la réponse libre ou naturelle, et va directement à la réponse forcée.

Les phaseurs supposent une forme d'onde sinusoïdale, les sinusoïdes durent indéfiniment, ils n'ont pas de comportement transitoire. La partie transitoire est perdue de la même manière que vous pouvez supposer qu'un condensateur qui a été chargé pendant "longtemps" est complètement chargé.